미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 미분

문제

−π4<x<π4\displaystyle - \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}에서 정의된 함수 f(x)=sin⁡2xf ( x ) = \sin 2 x의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, g′(12)\displaystyle g' \left( \frac{1}{2} \right)의 값은? [3점] ①33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}②22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}③11④2\displaystyle \sqrt{2}⑤3\displaystyle \sqrt{3}

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①

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법 이해하기 f(x)=sin⁡2xf ( x ) = \sin 2 x이므로 f(x)f ( x )의 역함수 g(x)g ( x )는 x=sin⁡2yx = \sin 2 y dxdy=2cos⁡2y\displaystyle \frac{dx}{dy} = 2 \cos 2 y, dxdy=21−x2\displaystyle \frac{dx}{dy} = 2 \sqrt{1 - x ^{2}} g′(x)=dydx=121−x2\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x ^{2}}} 따라서 g′(12)=33\displaystyle g' \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

태그

#역함수 미분법#삼각함수

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