역함수 존재와 최댓값

[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 역함수가 존재하려면 함수 $f ( x )$가 일대일 대응이어야 하므로 (ⅰ) $x \geq 1$일 때, 함수 $f ( x )$가 증가하여야 하므로 $\displaystyle y = x ^{2} - ax + 3 = \left( x - \frac{a}{2} \right) ^{2} - \frac{a ^{2}}{4} + 3$ $\displaystyle \frac{a}{2} \leq 1$, $a \leq 2$ (ⅱ) $x < 1$일 때, 함수 $f ( x )$가 증가하여야 하므로 $y = - x ^{2} + 2 bx - 3 = - \left( x - b \right) ^{2} + b ^{2} - 3$ $b \geq 1$ (ⅲ) $f ( x )$는 $x = 1$에서 연속이어야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x )}$$1 - a + 3 = - 1 + 2 b - 3$ $a + 2 b = 8$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $a \leq 2$, $b \geq 1$, $a + 2 b = 8$을 만족시키는 순서쌍 $( a , b )$를 좌표평면 위에 나타내면 $3 a + 2 b = k$의 그래프가 $( 2 , 3 )$을 지날 때 $k$의 값이 최대가 된다.

$\displaystyle b = - \frac{1}{2} a + 4$ $\displaystyle b = - \frac{3}{2} a + \frac{k}{2}$ $\left( 2 , 3 \right)$ $\displaystyle \frac{k}{2}$

따라서 $3 a + 2 b$의 최댓값은 $a = 2$, $b = 3$일 때 $12$