역함수 조건과 삼차함수

조건 (나)에서 $x \rightarrow 3$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$ 이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} = 0$ $\therefore$ $f ( 3 ) = g ( 3 )$ 또한, $f ( x )$와 $g ( x )$는 서로 역함수의 관계이므로 $f ( 3 ) = g ( 3 ) = 3$…㉠ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{f ( x ) - g ( x )}{( x - 3 ) g ( x )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{f ( x ) - f ( 3 ) - g ( x ) + g ( 3 )}{( x - 3 ) g ( x )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} \left\{ \frac{f ( x ) - f ( 3 )}{x - 3} \times \frac{1}{g ( x )} - \frac{g ( x ) - g ( 3 )}{x - 3} \right.$$\displaystyle \times \frac{1}{g ( x )} \}$ $\displaystyle = f' ( 3 ) \times \frac{1}{g ( 3 )} - g' ( 3 ) \times \frac{1}{g ( 3 )}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ f' ( 3 ) - g' ( 3 ) \right\} = \frac{8}{9}$ 이때, $\displaystyle g' ( 3 ) = \frac{1}{f' ( g ( 3 ) )} = \frac{1}{f' ( 3 )}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} \left\{ f' ( 3 ) - \frac{1}{f' ( 3 )} \right\} = \frac{8}{9}$ $3 \left\{ f' ( 3 ) \right\} ^{2} - 8 f' ( 3 ) - 3 = 0$ $\left\{ 3 f' ( 3 ) + 1 \right\} \left\{ f' ( 3 ) - 3 \right\} = 0$ $\therefore$ $\displaystyle f' ( 3 ) = - \frac{1}{3}$ 또는 $f' ( 3 ) = 3$ 그런데, $f ( x )$의 삼차항의 계수는 양수이고 역함수가 존재해야 하므로 $f' ( x ) \geq 0$ 이다. $\therefore$ $f' ( 3 ) = 3$…㉡ ㉠에 의하여 $f ( x ) - 3 = ( x - 3 ) ( x ^{2} + ax + b )$ 라 하고 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f' ( x ) = x ^{2} + ax + b + ( x - 3 ) ( 2 x + a )$…㉢ ㉡에 의하여 $f' ( 3 ) = 9 + 3 a + b = 3$ $\therefore$ $3 a + b = - 6$…㉣ ㉢의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f'' ( x ) = 2 x + a + ( 2 x + a ) + 2 ( x - 3 )$ $= 6 x + 2 a - 6$ 이때, 변곡점의 $x$좌표는 $6 x + 2 a - 6 = 0$ 에서 $\displaystyle x = \frac{3 - a}{3}$ 그런데, $f' ( 3 ) = 3$ 에서 $\displaystyle g' ( 3 ) = \frac{1}{f' ( 3 )} = \frac{1}{3}$ 이므로 조건 (가)에 의하여 $f ( x )$의 변곡점의 $x$좌표는 3이 되어야 한다. 즉, $\displaystyle \frac{3 - a}{3} = 3$ $\therefore$ $a = - 6$ ㉣에 대입하면 $b = 12$ 이므로 $f ( x ) - 3 = ( x - 3 ) ( x ^{2} + ax + b )$ $= ( x - 3 ) ( x ^{2} - 6 x + 12 )$ $\therefore$ $f ( 1 ) = - 2 \times 7 + 3 = - 11$