미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수 접선 기울기

문제

함수 f(x)=2x+sin⁡xf ( x ) = 2 x + \sin x의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, 곡선 y=g(x)y = g ( x ) 위의 점 (4π,2π)( 4 \pi , 2 \pi )에서의 접선의 기울기는 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

f′(x)=2+cos⁡xf' ( x ) = 2 + \cos x이고 f(2π)=4πf ( 2 \pi ) = 4 \pi이므로 역함수 미분법에 의해 g′(4π)=1f′(2π)\displaystyle {g' ( 4 \pi ) = \frac{1}{f' ( 2 \pi )}} f′(2π)=2+cos⁡2π=3f' ( 2 \pi ) = 2 + \cos 2 \pi = 3 따라서 g′(4π)=13\displaystyle g' ( 4 \pi ) = \frac{1}{3} ∴p=3,q=1\therefore p = 3 , q = 1

태그

#역함수의 미분법#접선

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