역함수 있는 삼차함수 보기

[출제의도] 미분의 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 추론한다. ㄱ. 함수 $g ( x )$의 역함수가 존재하고 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $g' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b \geq 0$이 성립해야 한다. 그러므로 방정식 $3 x ^{2} + 2 ax + b = 0$ 의 판별식을 $$라 하면$\frac{}{4} = a ^{2} - 3 b \leq 0$,$a ^{2} \leq 3 b$ (참) ㄴ. $2 f ( x ) = g ( x ) - g ( - x )$에서 $f ( x )$$\displaystyle = \frac{g ( x ) - g ( - x )}{2}$ $\displaystyle = \frac{( x ^{3} + ax ^{2} + bx + c ) - ( - x ^{3} + ax ^{2} - bx + c )}{2}$ $= x ^{3} + bx$ $f' ( x ) = 3 x ^{2} + b$이므로 $f' ( x ) = 0$에서 $3 x ^{2} + b = 0$ 이차방정식 $3 x ^{2} + b = 0$의 판별식을 $'$ 이라 하면 $'$$= 0 ^{2} - 4 \times 3 \times b$$= \mathit{-} 12 b$ ㄱ에 의해 $\displaystyle b \geq \frac{a ^{2}}{3} \geq 0$이므로 $' = \mathit{-} 12 b \leq 0$ 그러므로 이차방정식 $f' ( x ) = 0$은 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다. (거짓) ㄷ. 방정식 $f' ( x ) = 0$이 실근을 가지므로 $3 x ^{2} + b = 0$ 의 실근이 존재한다. 즉, $b \leq 0$ 또한, ㄱ에 의해 $b \geq 0$이므로 $b = 0$이고 ㄱ에 의해 $a = 0$이다. $g' ( x ) = 3 x ^{2}$이므로 $g' ( 1 ) = 3$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.