미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역함수 합성과 미분가능성

문제

두 상수 $a , b$ ( $a < b$ )에 대하여 함수 $f ( x )$ 를 $f ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) ^{2}$ 이라 하자. 함수 $g ( x ) = x ^{3} + x + 1$ 의 역함수 $g ^{- 1} ( x )$ 에 대하여 합성함수 $h ( x ) = ( f \circ g ^{-1} ) ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f ( 8 )$ 의 값을 구하시오. [4점]

(가) 함수 $( x - 1 ) | h ( x ) |$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) $h' ( 3 ) = 2$

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해설

$g ^{-1} ( x )$ 의 치역이 모든 실수의 집합이므로 $| h ( x ) |$ 의 그래프는 다음과 같은 모양이다.

$( x - 1 ) | h ( x ) |$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $h ( 1 ) = 0$ 이어야 한다. $f ( g ^{-1} ( 1 ) ) = 0$ 에서 $g ^{-1} ( 1 ) = a$ , $g ( a ) = 1$ 이므로 $a = 0$ 따라서 $f ( x ) = x ( x - b ) ^{2}$ $h' ( x ) = f' ( g ^{- 1} ( x ) ) ( g ^{- 1} )' ( x )$ 에서 $h' ( 3 ) = f' ( 1 ) = 8$ $f' ( x ) = ( x - b ) ^{2} + 2 x ( x - b )$ 이므로 $( 1 - b ) ^{2} + 2 ( 1 - b ) - 8 = b ^{2} - 4 b - 5 = 0$ 에서 $a < b$ 이므로 $b = 5$ $f ( x ) = x ( x - 5 ) ^{2}$ $f ( 8 ) = 72$

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