역함수 구분구적법

$\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} g \left( 1 + \frac{3 k}{n} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \times \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} g \left( 1 + \frac{3 k}{n} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \int _{1} ^{4} g ( x ) dx$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{4} g ( x ) dx$의 값은 그림의 어두운 부분의 넓이와 같다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{4}{1 + x ^{2}} = 1$에서 $\displaystyle x = \sqrt{3}$ (∵ $x \geq 0$)이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{4} g ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\sqrt{3}} \left( f ( x ) - 1 \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\sqrt{3}} \frac{4}{x ^{2} + 1} dx - \sqrt{3}$ $x = \tan \theta$($\displaystyle - \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$)라 하면 $dx = \sec ^{2} \theta d \theta$이고 $x = 0$일 때 $\theta = 0$, $\displaystyle x = \sqrt{3}$일 때 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{\sqrt{3}} \frac{4}{x ^{2} + 1} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{3}} {\frac{4}{\tan ^{2} \theta + 1} \sec ^{2} \theta d \theta}$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{3}} 4 d \theta$$\displaystyle = \frac{4}{3} \pi$ ∴ $\displaystyle \int _{1} ^{4} g ( x ) dx$$\displaystyle = \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3}$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} g \left( 1 + \frac{3 k}{n} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3}$$\displaystyle \int _{1} ^{4} g ( x ) dx$$=$$\displaystyle \frac{4 \pi - 3 \sqrt{3}}{9}$