역함수 대칭 이용 넓이

[출제의도] 무리함수와 역함수 문제 해결하기 구하고자 하는 넓이를 $S$라 하자. 함수 $\displaystyle y = \sqrt{x}$의 그래프는 함수 $y = x ^{2}$$( x \leq 0 )$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동한 후 $y = x$에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치하고 점 $\mathrm{A}$는 같은 방법의 대칭이동으로 점 $\mathrm{B}$로 이동한다. 따라서 그림과 같이 $S'$의 영역과 $S''$의 영역의 넓이는 서로 같다.

$S'$ $S''$

따라서 $S$의 값은 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이와 같다. 삼각형 $\mathrm{OAB}$에서 밑변을 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$라 하면, 높이는 원점과 직선 $x + 3 y - 10 = 0$ 사이의 거리이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} =$$\displaystyle \sqrt{( 4 + 2 ) ^{2} + ( 4 - 2 ) ^{2}} = 2 \sqrt{10}$이고 높이는 $\displaystyle \frac{\left| 0 + 3 \times 0 - 10 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 3 ^{2}}} = \sqrt{10}$ 이다. 따라서 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times 2 \sqrt{10} = 10$이다. [다른 풀이]

직선 $x + 3 y - 10 = 0$이 $y$축과 만나는 점은 $\displaystyle \mathrm{C} \left( 0 , \frac{10}{3} \right)$이다. 점 $\mathrm{C}$를 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\displaystyle \mathrm{C}' \left( \frac{10}{3} , 0 \right)$이라 하고 점 $\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 그림과 같이 $S'$의 영역과 $S''$의 영역의 넓이는 서로 같기 때문에 $S$의 값은 사다리꼴$\mathrm{COHB}$의 넓이에서 삼각형$\mathrm{BC}' H$의 넓이를 뺀 것과 같다. (사다리꼴 $\mathrm{COHB}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 + \frac{10}{3} \right) \times 4$$\displaystyle = \frac{32}{3}$ (삼각형 $\mathrm{BC}' H$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 4 - \frac{10}{3} \right) \times 2$$\displaystyle = \frac{2}{3}$ 따라서 $\displaystyle S = \frac{32}{3} - \frac{2}{3} = 10$이다.