역함수 치환적분

[출제의도] 여러 가지 적분법 이해하기 $g \left( x \right)$는 $f \left( x \right)$의 역함수이므로 $\displaystyle g' \left( f \left( x \right) \right) = \frac{1}{f' \left( x \right)}$ $\displaystyle \int _{1} ^{5} {\frac{40}{g' \left( f \left( x \right) \right) \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}} dx} = 40 \int _{1} ^{5} {\frac{f' \left( x \right)}{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}} dx}$ $f \left( x \right) = t$라 하면 $\displaystyle \frac{dt}{dx} = f' \left( x \right)$ $g \left( 2 \right) = 1$, $g \left( 5 \right) = 5$에서 $f \left( 1 \right) = 2$, $f \left( 5 \right) = 5$이므로 $x = 1$일 때 $t = 2$, $x = 5$일 때 $t = 5$이다. 따라서 $\displaystyle 40 \int _{1} ^{5} {\frac{f' \left( x \right)}{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}} dx}$$\displaystyle = 40 \int _{2} ^{5} {\frac{1}{t ^{2}} dt}$$\displaystyle = 40 \left[ - \frac{1}{t} \right] _{2} ^{5} = 12$