역함수 방정식 실근 조건

[출제의도] 삼차함수의 그래프가 역함수를 가질 조건을 이용하여 주어진 방정식이 실근을 가질 조건을 구할 수 있는가? $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 6 x + 6$이므로 $4 ( 3 x ^{2} - 6 x + 6 ) + 12 x - 18 = f' ( g ( x ) )$ $12 x ^{2} - 12 x + 6 = 3 \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - 6 g ( x ) + 6$ $\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - 2 g ( x ) = 4 x ^{2} - 4 x$ $\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - 4 x ^{2} - 2 g ( x ) + 4 x = 0$ $( g ( x ) - 2 x ) ( g ( x ) + 2 x ) - 2 ( g ( x ) - 2 x ) = 0$ $( g ( x ) - 2 x ) ( g ( x ) + 2 x - 2 ) = 0$ 따라서 $g ( x ) - 2 x = 0$ 또는 $g ( x ) + 2 x - 2 = 0$ (ⅰ) $g ( x ) - 2 x = 0$일 때, 즉 $g ( x ) = 2 x$이면 $f ( 2 x ) = x$이므로 $8 x ^{3} - 12 x ^{2} + 12 x + k = x$ $k = - 8 x ^{3} + 12 x ^{2} - 11 x \cdots \text{㉠}$ 따라서, $h _{1} ( x ) = - 8 x ^{3} + 12 x ^{2} - 11 x$라 하면 $h _{1}' ( x ) = - 24 x ^{2} + 24 x - 11 < 0$ 이므로 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 $- 7 \leq h _{1} ( x ) \leq 0$ 즉, 방정식 ㉠이 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 실근이 존재하기 위해서는 $- 7 \leq k \leq 0$ (ⅱ) $g ( x ) + 2 x - 2 = 0$일 때, 즉 $g ( x ) = - 2 x + 2$이면 $f ( - 2 x + 2 ) = x$이므로 $( - 2 x + 2 ) ^{3} - 3 ( - 2 x + 2 ) ^{2} + 6 ( - 2 x + 2 ) + k = x$ $- 8 x ^{3} + 12 x ^{2} - 13 x + 8 + k = 0$ $k = 8 x ^{3} - 12 x ^{2} 13 x - 8 \cdots \text{㉡}$ 따라서, $h _{2} ( x ) = 8 x ^{3} - 12 x ^{2} + 13 x - 8$라 하면 $h _{2}' ( x ) = 24 x ^{2} - 24 x + 13 > 0$ 이므로 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 $- 8 \leq h _{2} ( x ) \leq 1$ 즉, 방정식 ㉡이 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 실근이 존재하기 위해서는 $- 8 \leq k \leq 1$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $- 8 \leq k \leq 1$이므로 $m = - 8 , M = 1$ 따라서 $m ^{2} + M ^{2} = ( - 8 ) ^{2} + 1 ^{2} = 65$