공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬이 존재하기 위한 정수 k의 개수

문제

모든 실수 xx에 대하여 행렬 A=(x+kx−11x)\displaystyle A = \begin{pmatrix} {x + k} & {x - 1} \\ {1} & {x} \end{pmatrix}의 역행렬이 존재할 때, 이를 만족시키는 정수 kk의 개수는?

①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

행렬 AA의 역행렬이 존재하기 위한 조건은 D≠0D \ne 0이다. 즉, D=x(x+k)−(x−1)=x2+(k−1)x+1≠0⋯D = x ( x + k ) - ( x - 1 ) = x ^{2} + ( k - 1 ) x + 1 \ne 0 \cdots(1) 모든 실수 xx에 대하여 식 (1)이 성립하기 위해서 (k−1)2−4<0( k - 1 ) ^{2} - 4 < 0 k2−2k−3<0k ^{2} - 2 k - 3 < 0 (k−3)(k+1)<0( k - 3 ) ( k + 1 ) < 0 ∴−1<k<3\therefore - 1 < k < 3 따라서, 정수 kk는 0,1,20 , 1 , 2로 33개다.

태그

#행렬#역행렬#판별식

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