공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬이 없는 점의 자취

문제

점 $\mathrm{P}$ 가 가로의 길이가 $1$ , 세로의 길이가 $2$ 인 직사각형의 내부에서 움직이고 있다. 그림과 같이 점 $\mathrm{P}$ 와 각 꼭짓점을 연결하였을 때 생기는 네 삼각형의 넓이를 $a , b , c , d$ 라 하자. 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix}}$ 의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 의 자취의 길이는? [3점]

① $1$ ② $\displaystyle \sqrt{2}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle \sqrt{5}$ ⑤ $3$

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④

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해설

점 $P ( x , y )$ 로 놓으면 ① $\displaystyle b = \frac{1}{2} y$ ② $a = x$ ③ $c = 1 - x$ ④ $\displaystyle d = \frac{1}{2} ( 2 - y )$ 역행렬이 존재하지 않기 위해서는 $a d - b c = 0$ 이어야 하므로 $\displaystyle \frac{1}{2} x ( 2 - y ) - \frac{1}{2} y ( 1 - x ) = 0$ $x ( 2 - y ) - y ( 1 - x ) = 0$ $2 x - x y - y + x y = 0$ $2 x - y = 0$ $\therefore y = 2 x$ (단, $0 < x < 1 , 0 < y < 2 )$ 따라서 구하는 점 $P$ 의 자취의 길이는 $\displaystyle \sqrt{5}$ 이다.

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