역행렬 식 증명 빈칸

다음은 이차정사각행렬 $A$가 $A ^{2} \ne A$이고 $A ^{9} = A ^{7} = A$를 만족시킬 때 $\displaystyle ( A - kE ) ^{- 1} = \frac{1}{k ( 1 - k ^{2} )} A ^{2} + \frac{1}{1 - k ^{2}} A - \frac{1}{k} E$ 임을 증명한 것이다. (단, $k \ne 0$, $k \ne \pm 1$인 실수이고, $E$는 단위행렬이다.)

$A ^{9} = A ^{7} = A$이므로 $A =$ $\square {\left( \text{가} \right)}$ 이다. $A = ( A - kE + kE ) ^{3}$ 이므로 $A = ( A - kE ) ^{3} + 3 ( A - kE ) ^{2} kE$ $+ 3 ( A - kE ) ( kE ) ^{2} + ( kE ) ^{3}$ $\cdots$$\cdots \text{㉠}$ $A - kE$의 역행렬을 $B$라 하면 $AB$ $=$ $\square {\left( \text{나} \right)}$ $\cdots$$\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$의 양변에 $B$를 곱하면 $AB$ $= ( A - kE ) ^{3} B + 3 k ( A - kE ) ^{2} B + 3 k ^{2} ( A - kE ) B + k ^{3} B$ $=$ $\square {\left( \text{다} \right)}$$+ k ^{2} E + k ^{3} B$ $\cdots$$\cdots \text{㉢}$ $\text{㉡}$과 $\text{㉢}$에 의하여 $\square {\left( \text{나} \right)}$ $=$ $\square {\left( \text{다} \right)}$$+ k ^{2} E + k ^{3} B$ $\therefore$$( k ^{} - k ^{3} ) B =$ $A ^{2} + kA$$+ ( k ^{2} - 1 ) E$ 따라서, $\displaystyle B = ( A - kE ) ^{- 1} = \frac{1}{k ( 1 - k ^{2} )} A ^{2} + \frac{1}{1 - k ^{2}} A - \frac{1}{k} E$

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]