공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 성분합 최소

문제

aa 가 양수일 때, 행렬 A=(2a−3−58a)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 a & - 3 \\ - 5 & \frac{8}{a} \end{pmatrix} 에 대하여 A−1A ^{- 1}의 모든 성분의 합의 최소값을 구하시오. (단, A−1A ^{- 1} 는 AA 의 역행렬) [4점]

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해설

[출제의도] 역행렬을 구하고 산술․기하평균을 이용한 최소값 구하기 A−1=(8a352a)\displaystyle A ^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{8}{a} & 3 \\ 5 & 2 a \end{pmatrix} 모든 성분의 합은 2a+8a+8≥22a⋅8a+8=16\displaystyle 2 a + \frac{8}{a} + 8 \geq 2 \sqrt{2 a \cdot \frac{8}{a}} + 8 = 16 (등호는 a=2a = 2일 때 성립)

태그

#역행렬#산술기하평균

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