공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역행렬 표현 빈칸

문제

다음은 두 이차정사각행렬 AA, BB에 대하여 2A2+AB=E2 A ^{2} + AB = E ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ AB+2BA=2A+EAB + 2 BA = 2 A + E ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ 이 성립할 때, 행렬 AA의 역행렬 A−1A ^{- 1}를 AA와 EE로 나타내는 과정이다. (단, EE는 단위행렬이다.)

㉠ 에서 A−1=□(가)×A+BA ^{- 1} = {\square {( \text{가} )}} \times A + B ⋯⋯\cdots \cdots ㉢ 또한 AA−1=A−1AAA ^{- 1} = A ^{- 1} A이므로 ㉢ 에서 AB=BAAB = BA 따라서 ㉡ 에서 AB=□(나)×A+13E\displaystyle AB = {\square {( \text{나} )}} \times A + \frac{1}{3} E이고, ㉠ 에서 AB=E−2A2AB = E - 2 A ^{2}이므로 E−2A2=E - 2 A ^{2} =□(나)×A+13E\displaystyle {\square {( \text{나} )}} \times A + \frac{1}{3} E 그러므로 A−1=□(다)×A+EA ^{- 1} = {\square {( \text{다} )}} \times A + E 이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq, rr라 할 때, 세 수 pp, qq, rr의 곱 pqrp q r의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 역행렬을 구하는 과정 추론하기

㉠ 에서 A−1=□2×A+BA ^{- 1} = {\square {2}} \times A + B ⋯⋯\cdots \cdots ㉢ 또한 AA−1=A−1AAA ^{- 1} = A ^{- 1} A이므로 ㉢ 에서 AB=BAAB = BA 따라서 ㉡ 에서 AB=□23×A+13E\displaystyle AB = {\square {\frac{2}{3}}} \times A + \frac{1}{3} E이고, ㉠ 에서 AB=E−2A2AB = E - 2 A ^{2}이므로 E−2A2=E - 2 A ^{2} =□23×A+13E\displaystyle {\square {\frac{2}{3}}} \times A + \frac{1}{3} E 그러므로 A−1=□3×A+EA ^{- 1} = {\square {3}} \times A + E 이다.

따라서 p=2p = 2, q=23\displaystyle q = \frac{2}{3}, r=3r = 3 그러므로 pqr=2⋅23⋅3=4\displaystyle pqr = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 3 = 4

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#역행렬#빈칸 추론

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