역행렬 존재 순서쌍

[출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 문제 해결하기 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 + 2 t - bt & t + 1 \\ at - a & 2 \end{pmatrix}}$가 역행렬을 갖기 위해서는 모든 실수 $t$에 대해 $2 ( 2 + 2 t - bt ) - ( t + 1 ) ( at - a ) \ne 0$ 즉, $at ^{2} + 2 ( b - 2 ) t - 4 - a \ne 0$이 성립해야 한다. (i) $a = 0$인 경우 모든 실수 $t$에 대하여 $2 ( b - 2 ) t - 4 \ne 0$이 성립해야 하므로 $b = 2$이다. 따라서 순서쌍 $( a , b ) = ( 0 , 2 )$는 모든 실수 $t$에 대하여 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 + 2 t - bt & t + 1 \\ at - a & 2 \end{pmatrix}}$가 역행렬을 갖도록 한다. (ii) $a \ne 0$인 경우 모든 실수 $t$에 대해 $at ^{2} + 2 ( b - 2 ) t - 4 - a \ne 0$이다. 즉, 이차방정식 $at ^{2} + 2 ( b - 2 ) t - 4 - a = 0$의 실근이 존재하지 않아야 되므로 $\displaystyle \frac{D}{4} = ( b - 2 ) ^{2} - a ( - 4 - a ) < 0$ 를 만족해야 한다. 식을 정리하면 $( a + 2 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} < 4$이고, 영역은 다음 그림과 같다.

따라서 $( a + 2 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} < 4$를 만족하는 부등식 영역 내부의 정수 순서쌍 $( a , b )$는 $( - 1 , 1 ) , ( - 1 , 2 ) , ( - 1 , 3 )$ $( - 2 , 1 ) , ( - 2 , 2 ) , ( - 2 , 3 )$ $( - 3 , 1 ) , ( - 3 , 2 ) , ( - 3 , 3 )$ $9$개로 각각의 순서쌍은 모든 실수 $t$에 대하여 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 + 2 t - bt & t + 1 \\ at - a & 2 \end{pmatrix}}$이 역행렬을 갖도록 한다. 그러므로 (i)과 (ii)에 의해 정수 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $10$이다.