역행렬 존재 k 개수

[출제의도] 역행렬이 존재하기 위한 조건을 이용하여 값을 구한다. 주어진 행렬이 역행렬을 가지려면 $x ( x - 2 ) - 3 ( 2 x - k ) \ne 0$ $x ^{2} - 8 x + 3 k \ne 0$ $f ( x ) = x ^{2} - 8 x + 3 k$라 하면 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $x$축과 만날 때, $f ( x )$의 값은 $0$이다. 따라서 위 조건을 만족시키려면 $1 \leq x \leq 5$에서 $y = f ( x )$의 그래프가 $x$축과 만나지 않아야 한다. 그러기 위해서는 $1 \leq x \leq 5$인 임의의 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) > 0$ 또는 $f ( x ) < 0$이어야 한다. $f ( x ) = x ^{2} - 8 x + 3 k = ( x - 4 ) ^{2} + 3 k - 16$이므로 다음과 같은 두 가지 경우를 생각한다. ⅰ) $f ( x ) > 0$인 경우 최솟값 $f ( 4 ) = 3 k - 16 > 0$에서 $\displaystyle k > \frac{16}{3}$

ⅱ) $f ( x ) < 0$인 경우 최댓값 $f ( 1 ) = 3 k - 7 < 0$에서 $\displaystyle k < \frac{7}{3}$

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 $k$값의 범위는 $\displaystyle k > \frac{16}{3}$ 또는 $\displaystyle k < \frac{7}{3}$ 따라서 $10$ 이하의 자연수 $k$의 값은 $1$, $2$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$이고 개수는 $7$이다.