역행렬 존재 조건 순서쌍

[출제의도] 역행렬의 뜻을 알고 문제를 해결하기 역행렬이 존재하려면 $2 k ( 2 k + a - 1 ) - b ( k + 1 ) ( k - 1 ) \ne 0$ $( 4 - b ) k ^{2} + 2 ( a - 1 ) k + b \ne 0$ (ⅰ) $b \ne 4$일 때, $\displaystyle \frac{D}{4} = ( a - 1 ) ^{2} - b ( 4 - b ) < 0$ $( a - 1 ) ^{2} + b ^{2} - 4 b < 0$ $( a - 1 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} < 4$이므로 $a < b$를 만족시키는 $( a , b )$는 $( 0 , 1 )$, $( 0 , 2 )$, $( 1 , 2 )$, $( 0 , 3 )$, $( 1 , 3 )$, $( 2 , 3 )$이다. (ⅱ) $b = 4$일 때, 임의의 실수 $k$에 대하여 $2 ( a - 1 ) k + 4 \ne 0$인 것은 $a = 1$이다. 이때, $( a , b ) = ( 1 , 4 )$는 $a < b$를 만족한다. (ⅰ)(ⅱ)에 의해 $a < b$를 만족시키는 순서쌍의 개수는 7개이다.