공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 존재 조건

문제

다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합은? [3점]

(가) 모든 실수 $t$ 에 대하여 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} t - k & 1 \\ - 1 & t \end{pmatrix}}$ 의 역행렬이 존재한다. (나) $x$ , $y$ 에 대한 연립방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} k ^{2} & k + 3 \\ k & k - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 이 $x = 0$ , $y = 0$ 이외의 해를 갖는다.

① $- 2$ ② $- 1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$

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②

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해설

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 관계 이해하기 모든 실수 $t$ 에 대하여 $t ^{2} - kt + 1 \ne 0$ 이므로 $D = k ^{2} - 4 = ( k - 2 ) ( k + 2 ) < 0$ 이다. $\therefore$ $- 2 < k < 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ $x = 0 , y = 0$ 이외의 해를 갖기 위해서는 $k ^{2} ( k - 1 ) - k ( k + 3 ) = 0$ 이다. $k ( k - 3 ) ( k + 1 ) = 0$ $\therefore k = - 1 , 0 , 3$ $\cdots \cdots$ ㉡㉠과 ㉡을 동시에 만족하는 $k = - 1 , 0$ 이다. $\therefore$ 모든 실수 $k$ 의 합은 $- 1$

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