공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역행렬 존재 함수 개수

문제

두 집합 $X = \{ a , b , c , d \}$ , $Y = \{ 1 , 2 \}$ 에 대하여 함수 $f$ : $X \rightarrow Y$ 중에서 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} f ( a ) & f ( b ) \\ f ( c ) & f ( d ) \end{pmatrix}}$ 의 역행렬이 존재하도록 하는 함수 $f$ 의 개수를 구하시오. [3점]

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[출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 집합 $X = \left\{ a , b , c , d \right\}$ 에서 집합 $Y = \left\{ 1 , 2 \right\}$ 로의 함수 $f : X \rightarrow Y$ 의 개수는 $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ $\displaystyle \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} f \left( a \right) & f \left( b \right) \\ f \left( c \right) & f \left( d \right) \end{matrix}} \end{array} \right)$ 의 역행렬이 존재하지 않으려면 $f \left( a \right) f \left( d \right) = f \left( b \right) f \left( c \right)$ 이를 만족하는 $\left( f \left( a \right) , f \left( d \right) , f \left( b \right) , f \left( c \right) \right)$ 는 다음과 같다.

$f ( a )$	$f ( d )$	$f ( b )$	$f ( c )$
$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$2$	$1$	$2$
$1$	$2$	$2$	$1$
$2$	$1$	$1$	$2$
$2$	$1$	$2$	$1$
$2$	$2$	$2$	$2$

$\therefore$ 역행렬이 존재하는 함수의 개수는 $16 - 6 = 10$

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