공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 조건과 도형

문제

좌표평면에서 두 점 A(1,3)\displaystyle \mathrm{A} ( 1 , \sqrt{3} ), B(1,−3)\displaystyle \mathrm{B} ( 1 , - \sqrt{3} )에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 점 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )가 나타내는 도형 전체의 길이는? [4점]

(가) x2+y2=4x ^{2} + y ^{2} = 4 (나) 선분 AB\mathrm{A} B 위의 임의의 점 (1,a)( 1 , a )에 대하여 행렬 (xy1a)\displaystyle {\begin{pmatrix} x & & y \\ 1 & & a \end{pmatrix}}는 역행렬을 갖는다.

①13π\displaystyle \frac{1}{3} \pi②12π\displaystyle \frac{1}{2} \pi③π\pi④43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi⑤32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi

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④

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해설

행렬 (xy1a)\displaystyle {\begin{pmatrix} x & & y \\ 1 & & a \end{pmatrix}}가 역행렬을 가질 조건은 ax−y≠0ax - y \neq 0 즉, y≠axy \neq ax이다. 따라서 점 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )는 원점을 지나고 기울기가 aa인 직선 y=axy = ax 위에 있지 않은 점이다. 따라서 점 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )가 나타내는 도형은 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 22이고 중심각의 크기가 60∘60 ^\circ인 22개의 호이다.

따라서 구하는 도형의 길이는 2×60∘360∘×4π=43π\displaystyle 2 \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} \times 4 \pi = \frac{4}{3} \pi

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#역행렬#원

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