공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 증명 빈칸

문제

$0$ 이 아닌 실수 $k$ 와 두 이차정사각행렬 $A$ , $B$ 가 $A ^{2} + A + E = O$ , $B ^{- 1} = A + kE$ 을 만족시킬 때 $\left( A ^{2} B ^{2} \right) ^{- 1}$ $=$ $($ (가) $) A + ( 1 - 2 k ) E$ 임을 증명하는 과정이다. (단, $E$ 는 단위행렬이고 $O$ 는 영행렬이다.)


	<증명> $A ^{2} + A + E = O$ 에서 $A ^{- 1} =$ (나) $B ^{- 1} = A + kE$ 이므로 $( A + kE ) B = E = B ( A + kE )$ 이다. 따라서 $AB = BA$ $\left( A ^{2} B ^{2} \right) ^{- 1} = \left( A ^{- 1} \right) ^{2} \left( B ^{- 1} \right) ^{2} = \left( A ^{- 1} B ^{- 1} \right) ^{2}$ $=$ $\{ kA + ( `$ (다) $=$ $($ (가)

위 증명에서 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $f ( k )$ , $g ( k )$ 라 하고 (나)에 알맞은 값을 $p$ 라 할 때, $f ( p ) \times g ( p )$ 의 값은? [4점] ① $- 7$ ② $- 6$ ③ $- 5$ ④ $- 4$ ⑤ $- 3$

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②

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해설

[출제의도] 역행렬을 이용하여 추론하기 <증명> $A ^{2} + A + E = O$ 에서 $A \left( A + E \right) = - E$ 이므로 $A ^{- 1} = \square {- 1} ( A + E )$ $B ^{- 1} = A + kE$ 이므로 $( A + kE ) B = E = B ( A + kE )$ 이다. 따라서 $AB = BA$ $\left( A ^{2} B ^{2} \right) ^{- 1} = \left( A ^{- 1} \right) ^{2} \left( B ^{- 1} \right) ^{2} = \left( A ^{- 1} B ^{- 1} \right) ^{2}$ $= \left\{ ( - A - E ) ( A + kE ) \right\} ^{2}$ $= \left\{ kA + \left( \square {k - 1} ` \right) E \right\} ^{2}$ $= \left( \square {k ^{2} - 2 k} \right) A + ( 1 - 2 k ) E$ $f \left( k \right) = k ^{2} - 2 k , g \left( k \right) = k - 1$ 이고 $p = - 1$ $\therefore f \left( - 1 \right) \times g \left( - 1 \right) = - 6$

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