공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 거듭제곱 성분 합

문제

행렬 A=(1012)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}의 역행렬을 BB라 할 때, BnB ^{n}의 (2,1)( 2 , 1 )성분을 ana _{n}이라 하자. ∑k=110ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k}의 값은? [4점] ①−11−1210\displaystyle - 11 - \frac{1}{2 ^{10}}②−10−1210\displaystyle - 10 - \frac{1}{2 ^{10}}③−9−1210\displaystyle - 9 - \frac{1}{2 ^{10}}④−10−1211\displaystyle - 10 - \frac{1}{2 ^{11}}⑤−9−1211\displaystyle - 9 - \frac{1}{2 ^{11}}

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③

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해설

행렬 AA의 역행렬 BB는 B=12(20−11)=(10−1212)\displaystyle B = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} \end{array} \right)이므로 B2=(10−1212)(10−1212)=(10122−1(12)2)\displaystyle B ^{2} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2 ^{2}} - 1 & \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \end{matrix} \end{array} \right) B3=(10122−1(12)2)(10−1212)=(10133−1(12)3)\displaystyle B ^{3=} \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2 ^{2-1}} & \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{3 ^{3}} - 1 & \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} \end{matrix} \end{array} \right) Bn=(1012n−1(12)n)\displaystyle B ^{n=} \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2 ^{n}} - 1 & \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \end{matrix} \end{array} \right) ∴an=12n−1\displaystyle \therefore a _{n} = \frac{1}{2 ^{n}} - 1

태그

#역행렬#행렬 거듭제곱#등비수열

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