공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 거듭제곱 성분 합

문제

행렬 A=(1012)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}의 역행렬을 BB라 할 때, BnB ^{n}의 (2,1)( 2 , 1 )성분을 ana _{n}이라 하자. ∑k=110ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k}의 값은? [4점] ①−11−1210\displaystyle - 11 - \frac{1}{2 ^{10}}②−10−1210\displaystyle - 10 - \frac{1}{2 ^{10}}③−9−1210\displaystyle - 9 - \frac{1}{2 ^{10}}④−10−1211\displaystyle - 10 - \frac{1}{2 ^{11}}⑤−9−1211\displaystyle - 9 - \frac{1}{2 ^{11}}

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③

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해설

B=A−1=12(2−101)\displaystyle B = A ^{-1} = \frac{1}{2} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{2}{- 1} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) B2=12(2−101)⋅12(2−101)=122(22−301)\displaystyle B ^{2} = \frac{1}{2} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{2}{- 1} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) \cdot \frac{1}{2} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{2}{- 1} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) = \frac{1}{2 ^{2}} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{2 ^{2}}{- 3} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) B3=122(22−301)⋅12(2−101)=123(23−701)\displaystyle B ^{3} = \frac{1}{2 ^{2}} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{2 ^{2}}{- 3} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) \cdot \frac{1}{2} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{2}{- 1} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) = \frac{1}{2 ^{3}} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{2 ^{3}}{- 7} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) ⋮\vdots Bn=12n(2n−2n+101)\displaystyle B ^{n} = \frac{1}{2 ^{n}} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{2 ^{n}}{- 2 ^{n} + 1} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) an=−2n+12n\displaystyle a _{n} = \frac{- 2 ^{n} + 1}{2 ^{n}} ∴ ∑k=110ak=−∑k=1101+∑k=11012k\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{10} a _{k} = - \sum\limits _{k=1} ^{10} 1 + \sum\limits _{k=1} ^{10} \frac{1}{2 ^{k}}=−10+12(1−1210)1−12\displaystyle = - 10 + \frac{\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2 ^{10}} \right)}{1 - \frac{1}{2}} =−10+1−1210\displaystyle = - 10 + 1 - \frac{1}{2 ^{10}}=−9−1210\displaystyle = - 9 - \frac{1}{2 ^{10}}

태그

#역행렬#행렬 거듭제곱#등비수열

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