공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역행렬 없는 조건 영역

문제

실수 $a , b$ 에 대하여 행렬 $\left( \genfrac{}{}{0pt}{}{x ^{2} + 2 x + a ^{2} + b ^{2}}{x - 1} \genfrac{}{}{0pt}{}{x + 1}{2} \right)$ 이 역행렬을 갖지 않도록 하는 실수 $x$ 가 존재할 때, 점 $( a , b )$ 가 그리는 영역의 넓이는? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{2} \pi$ ② $\pi$ ③ $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$ ④ $2 \pi$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{2} \pi$

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③

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해설

역행렬을 갖지 않도록 하는 실수 $x$ 가 존재해야 하므로 $D = 2 \left( x ^{2} + 2 x + a ^{2} + b ^{2} \right) - \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) = 0$ 즉 $x ^{2} + 4 x + 2 a ^{2} + 2 b ^{2} + 1 = 0$ 이 실근을 가져야 하므로 $D / 4 = 4 - \left( 2 a ^{2} + 2 b ^{2} + 1 \right) \geq 0$ 따라서 $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} \leq \frac{3}{2}$ ∴ (구하고자 하는 영역의 넓이) $\displaystyle = \frac{3}{2} \pi$

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