역행렬 없는 점의 영역

[출제의도] 역행렬이 존재하지 않는 조건 이해하기 행렬 $\displaystyle \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} x & y \\ a & b \end{matrix}} \end{array} \right)$의 역행렬이 존재하지 않으므로 $bx - ay = 0$이다. ⅰ) $a = 0$일 때 $b = 1$이므로 점 $\mathrm{Q} \left( 0 , 1 \right)$이고 점 $\mathrm{P}$는 직선 $x = 0$($- 1 < y < 1$) 위에 존재한다. 그러므로 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 일직선 위에 있다. ⅱ) $a \ne 0$일 때 $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$이므로 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 일직선 위에 있다. ⅰ), ⅱ)에 의해 점 $\mathrm{P}$가 존재하는 영역은 그림에서 색칠한 부분이다.

$\mathrm{Q} \mathit{\left( a , b \right)}$ $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , y \right)$ $\displaystyle y = \frac{1}{4} x ^{2} + 1$ $x ^{2} + y ^{2} = 1$

이제 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{4} x ^{2} + 1$과 접하는 직선 $y = mx$의 기울기 $m$을 구하자. $\displaystyle mx = \frac{1}{4} x ^{2} + 1$에서 $x ^{2} - 4 mx + 4 = 0$이고 $\displaystyle \frac{D}{4} = 4 m ^{2} - 4 = 0$이다. 그러므로 $m = \pm 1$이므로 두 접선은 수직이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$가 존재하는 영역의 넓이 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \frac{\pi}{2} \times 2 = \frac{\pi}{2}$이다.