공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 없는 점의 자취

문제

부등식 (x−4)2+(y−1)2≤4( x - 4 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} \leq 4를 만족시키는 좌표평면 위의 점 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )에 대하여 행렬 AA를 A=(3y4x−1)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 3 & y \\ 4 & x - 1 \end{pmatrix}}이라 하자. 행렬 AA의 역행렬이 존재하지 않을 때, 점 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )가 나타내는 도형의 길이는? [4점] ①3\displaystyle \sqrt{3}②6\displaystyle \sqrt{6}③33④23\displaystyle 2 \sqrt{3}⑤15\displaystyle \sqrt{15}

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④

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해설

[출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 행렬 (3y4x−1)\displaystyle {\begin{pmatrix} 3 & y \\ 4 & x - 1 \end{pmatrix}}의 역행렬이 존재하지 않으므로 3x−4y−3=03 x - 4 y - 3 = 0 따라서 점 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )가 나타내는 도형은 그림과 같이 선분 QR\mathrm{QR}이다.

3x−4y−3=03 x - 4 y - 3 = 0

원의 중심과 직선 3x−4y−3=03 x - 4 y - 3 = 0 사이의 거리가 11이고 원의 반지름의 길이가 22이므로 QR‾=222−1=23\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = 2 \sqrt{2 ^{2} - 1} = 2 \sqrt{3}

태그

#역행렬#원과 직선

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