공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역행렬 없는 점의 자취

문제

행렬 (x−1−y+4y−4x−3)\displaystyle {\begin{pmatrix} x - 1 & - y + 4 \\ y - 4 & x - 3 \end{pmatrix}}의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 모든 실수 x,yx , y에 대하여 점 P(x,y)\mathrm{P} \mathit{(} x , y )를 좌표평면 위에 나타낼 때, 점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형과 중심이 원점이고 반지름의 길이가 rr인 원이 만난다고 한다. rr의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, 두 수 MmM m의 곱을 구하시오. [4점]

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19

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해설

[출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용한 활용 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 행렬 (x−1−y+4y−4x−3)\displaystyle {\begin{pmatrix} x - 1 & - y + 4 \\ y - 4 & x - 3 \end{pmatrix}}의 역행렬이 존재하지 않으므로 (x−1)(x−3)−(−y+4)(y−4)=0( x - 1 ) ( x - 3 ) - ( - y + 4 ) ( y - 4 ) = 0 x2−4x+3+(y−4)2=0x ^{2} - 4 x + 3 + ( y - 4 ) ^{2} = 0 (x−2)2+(y−4)2=1( x - 2 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 1 원점에서 (2,4)( 2 , 4 )까지의 거리는 25\displaystyle 2 \sqrt{5}이므로 MM==25+1\displaystyle 2 \sqrt{5} + 1, mm==25−1\displaystyle 2 \sqrt{5} - 1 ∴ Mm=M m =(25+1)(25−1)=19\displaystyle ( 2 \sqrt{5} + 1 ) ( 2 \sqrt{5} - 1 ) = 19

태그

#역행렬#원의 방정식

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