역행렬 없는 행렬 거듭제곱 합

행렬 $A$의 역행렬이 존재하지 않으므로 $( 2 a + 1 ) ( a + 1 ) - ( a - 1 ) ( 2 a - 1 ) = 0$ ∴$a = 0$ 따라서 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ - 1 1 \end{pmatrix}$이다. 여기에서 $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ - 1 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ - 1 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2 \\ - 2 2 \end{pmatrix}$$= 2 A$ $A ^{3} = A A ^{2} = A ( 2 A ) = 2 A ^{2} = 2 ( 2 A ) = 2 ^{2} A$ $A ^{4} = A A ^{3} = A ( 2 ^{2} A ) = 2 ^{2} A ^{2} = 2 ^{3} A$ 따라서 $A ^{n} = 2 ^{n-1} A$이다. $A + A ^{2} + A ^{3} + \cdots + A ^{2008}$$= A + 2 A + 2 ^{2} A + \cdots + 2 ^{2007} A$ $= ( 1 + 2 + 2 ^{2} + \cdots + 2 ^{2007} ) A = ( 2 ^{2008} - 1 ) A$ $E + A + A ^{2} + A ^{3} + \cdots + A ^{2008} = E + ( 2 ^{2008} - 1 ) A$ 따라서 $p = 1 , q = 2 ^{2008} - 1$이므로 $p + q = 2 ^{2008}$