공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역행렬 없는 행렬 개수

문제

그림은 좌표평면에 직선 $x = m$ ( $m = 1 , 2 , 3 , 4$ )과 직선 $y = n$ ( $n = 1 , 2 , 3 , 4$ )의 교점을 나타낸 것이다.

$16$ 개의 교점 중 서로 다른 두 점 ( $x _{1}$ , $y _{1}$ ), ( $x _{2}$ , $y _{2}$ )를 차례로 택하여 두 점의 $x$ , $y$ 좌표를 성분으로 하는 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} x _{1} & x _{2} \\ y _{1} & y _{2} \end{pmatrix}$ 를 만든다. 예를 들어 차례로 택한 두 점의 좌표가 각각 ( $1$ , $3$ ), ( $2$ , $4$ )이면 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 가 만들어지고, 차례로 택한 두 점의 좌표가 각각 ( $2$ , $4$ ), ( $1$ , $3$ )이면 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ 이 만들어진다. 이와 같이 위의 16개의 교점 중 서로 다른 두 점을 차례로 택하여 만든 행렬 중에서 역행렬을 갖지 않는 것의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 역행렬을 갖기 위한 조건을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 서로 다른 두 점 $( x _{1} , y _{1} )$ , $( x _{2} , y _{2} )$ 를 택하여 만든 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} x _{1} & x _{2} \\ y _{1} & y _{2} \end{pmatrix}$ 의 역행렬이 존재하지 않으려면 $x _{1} y _{2} - x _{2} y _{1} = 0$ 이어야 한다. 이때, $x _{1} , x _{2} , y _{1} , y _{2}$ 는 모두 $0$ 이 아니므로 $\displaystyle \frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$ 따라서 세 점 $\mathrm{O}$ , $( x _{1} , y _{1} )$ , $( x _{2} , y _{2} )$ 가 한 직선 위에 있을 때 역행렬이 존재하지 않는다.

두 점을 택하는 순서에 따라 서로 다른 행렬이 만들어지므로 (ⅰ) 직선 $l$ 위의 두 점을 택한 경우 ${}_{4} {\mathrm{P}} _{2} = 12$ (개) (ⅱ) 직선 $m$ 위의 두 점을 택한 경우 ${}_{2} {\mathrm{P}} _{2} = 2$ (개) (ⅲ) 직선 $n$ 위의 두 점을 택한 경우 ${}_{2} {\mathrm{P}} _{2} = 2$ (개) 그러므로 역행렬을 갖지 않는 행렬의 개수는 $12 + 2 + 2 = 16$ 이다.

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