역행렬 없는 행렬 보기

[출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건 이해하기 두 행렬 $\displaystyle A + E = \begin{pmatrix} a + 1 & b \\ c & d + 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A - E = \begin{pmatrix} a - 1 & b \\ c & d - 1 \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재하지 않으므로 $\displaystyle \begin{cases} ( a + 1 ) ( d + 1 ) - bc = 0 \\ ( a - 1 ) ( d - 1 ) - bc = 0 \end{cases}$ 두 식을 연립하면 $ad - bc = - 1 , a + d = 0$ ㄱ. $ad - bc = - 1$이므로 $A ^{-1}$이 존재한다.(참) ㄴ. $( A + E ) ( A - E ) = A ^{2} - E$ $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} a ^{2} + bc & b ( a + d ) \\ c ( a + d ) & bc + d ^{2} \end{pmatrix}$ $a + d = 0$이고, $d = - a$, $ad - bc = - 1$에 의하여 $a ^{2} + bc = bc + d ^{2} = 1$이므로 $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} a ^{2} + bc & b ( a + d ) \\ c ( a + d ) & bc + d ^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$ $\therefore ( A + E ) ( A - E ) = A ^{2} - E = O$ (참) ㄷ. ㄴ에 의하여 $A ^{2} = E$이므로 $A ^{2} + 3 A + 2 E = 3 ( A + E )$ $A + E$의 역행렬이 존재하지 않으므로 $A ^{2} + 3 A + 2 E$의 역행렬이 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.