공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역행렬 없는 곡선 위 두 점

문제

곡선 ∣y∣=x2+1\left| y \right| = x ^{2} + 1 위의 서로 다른 두 점 P(x1,y1)\mathrm{P} ( \mathit{x} _{1} , y _{1} ), Q(x2,y2)\mathrm{Q} ( \mathit{x} _{2} , y _{2} )에 대하여 행렬 A=(x1y1x2y2)\displaystyle A = \begin{pmatrix} x _{1} & y _{1} \\ x _{2} & y _{2} \end{pmatrix}라 하자. AA의 역행렬이 존재하지 않을 때, PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}의 기울기 mm의 범위는? (단, x1x2≠0x _{1} x _{2} \ne 0) [4점] ①−4≤m≤−1- 4 \leq m \leq - 1②−2<m<2- 2 < m < 2③m≤−1m \leq - 1 또는 m≥1m \geq 1④m≤−2m \leq - 2 또는 m≥2m \geq 2⑤1<m<41 < m < 4

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④

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해설

[출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용한 수학 내적 문제해결하기 행렬 A=(x1y1x2y2)\displaystyle A = \begin{pmatrix} x _{1} & y _{1} \\ x _{2} & y _{2} \end{pmatrix}의 역행렬이 존재하지 않으므로 x1y2=y1x2x _{1} y _{2} = y _{1} x _{2} 즉, y1x1=y2x2\displaystyle \frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}(x1x2≠0)( x _{1} x _{2} \ne 0 ) y1−0x1−0=y2−0x2−0\displaystyle \frac{y _{1} - 0}{x _{1} - 0} = \frac{y _{2} - 0}{x _{2} - 0}이므로 OP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}}의 기울기와 OQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}}의 기울기는 같다. 따라서 직선 PQ\mathrm{PQ}는 원점을 지나므로 직선 PQ\mathrm{PQ}의 방정식은 y=mxy = mx이다. ∣y∣=x2+1\left| y \right| = x ^{2} + 1과 y=mxy = mx는 교점을 갖는다. x2−mx+1=0x ^{2} - mx + 1 = 0와 x2+mx+1=0x ^{2} + mx + 1 = 0이 실근을 가지므로 D=m2−4≥0D = m ^{2} - 4 \geq 0 ∴ m≤−2m \leq - 2 또는 m≥2m \geq 2

태그

#역행렬#판별식

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