역행렬 없는 대칭행렬

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재하지 않으므로 $ac - b ^{2} = 0$ ∴ $b ^{2} = ac$ ㄱ. $b ^{2} = ac$에서 $b$는 $a$와 $c$의 등비중항이므로 $a , b , c$는 이 순서로 등비수열을 이룬다. (참) ㄴ. $\displaystyle A + E = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} a + 1 & b \\ b & c + 1 \end{pmatrix}$ 이 때, $( a + 1 ) ( c + 1 ) - b ^{2}$$= ac + a + c + 1 - b ^{2}$ $= a + c + 1 \ne 0$ ($\because ac - b ^{2} = 0$, $a > 0 , c > 0$) 따라서 $A + E$는 역행렬이 존재한다. (참) ㄷ. $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} a ^{2} + b ^{2} & ab + bc \\ ab + bc & b ^{2} + c ^{2} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$$= A$ 에서 행렬이 서로 같을 조건에 의해 $ab + bc = b$ ∴ $a + c = 1$ ( $\because b > 0$) (참) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.