공통수학2직선의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

y축 위의 점과 거리의 합의 최솟값

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A(2,1)\mathrm{A} ( 2 , 1 ), B(4,9)\mathrm{B} ( 4 , 9 )와 yy축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}가 있다. AP‾+BP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}의 최솟값은? [3점] ①217\displaystyle 2 \sqrt{17}②85\displaystyle \sqrt{85}③99④1010⑤109\displaystyle \sqrt{109}

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④

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해설

두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}는 yy축에 대하여 같은 쪽에 있다. 점 A(2,1)\mathrm{A} ( 2 , 1 )의 yy축에 대한 대칭점을 A′\mathrm{A}'이라 하면 A′(−2,1)\mathrm{A}' ( - 2 , 1 )이고, yy축 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 AP‾=A′P‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}이다. AP‾+BP‾=A′P‾+BP‾≥A′B‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{BP}} \geq \overline{\mathrm{A}' B} 등호는 점 P\mathrm{P}가 선분 A′B\mathrm{A}' B와 yy축의 교점일 때 성립한다. A′B‾=(4−(−2))2+(9−1)2=36+64=10\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 4 - ( - 2 ) ) ^{2} + ( 9 - 1 ) ^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10 따라서 최솟값은 1010이다. ④

태그

#최솟값#대칭점#거리의 합

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