미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

y축 회전체 부피

문제

두 곡선 y=x(x≥0)\displaystyle y = \sqrt{x} ( x \geq 0 )와 y=x2y = x ^{2}으로 둘러싸인 부분을 yy축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는? [3점] ①π10\displaystyle \frac{\pi}{10}②π6\displaystyle \frac{\pi}{6}③π5\displaystyle \frac{\pi}{5}④310π\displaystyle \frac{3}{10} \pi⑤25π\displaystyle \frac{2}{5} \pi

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④

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해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. y=x\displaystyle y = \sqrt{x}와 y=x2y = x ^{2}의 교점을 구하면 x=0,1x = 0 , 1에서 만나므로 (0,0),(1,1)( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 )이다. 따라서 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 회전시킨 회전체의 부피는 π∫01ydy−π∫01(y2)2dy=π[y22−y55]01=310π\displaystyle \pi \int _{0} ^{1} y dy - \pi \int _{0} ^{1} ( y ^{2} ) ^{2} dy = \pi \left[ \frac{y ^{2}}{2} - \frac{y ^{5}}{5} \right] _{0} ^{1} = \frac{3}{10} \pi ∴310π\displaystyle \therefore \frac{3}{10} \pi

태그

#회전체의 부피#정적분

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