공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

양근 존재 조건

문제

이차방정식 x2−2mx−3m−8=0x ^{2} - 2 mx - 3 m - 8 = 0의 두 근 중 적어도 하나는 양의 실수가 되도록 하는 정수 mm의 최솟값을 kk라 할 때, k2k ^{2}의 값은? [3점] ①11②44③99④1616⑤2525

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②

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해설

[출제의도] 이차방정식의 활용 문제 해결하기 f(x)=x2−2mx−3m−8f ( x ) = x ^{2} - 2 mx - 3 m - 8라 두면 이차방정식 f(x)=0f ( x ) = 0에서 D4=m2+3m+8=(m+32)2+234>0\displaystyle \frac{D}{4} = m ^{2} + 3 m + 8 = \left( m + \frac{3}{2} \right) ^{2} + \frac{23}{4} > 0이므로 mm의 값에 관계없이 항상 서로 다른 두 실근을 가진다. 두 실근이 모두 00이하가 되려면 (ⅰ) 대칭축의 방정식은 x=mx = m이므로 m≤0m \leq 0 (ⅱ) f(0)=−3m−8≥0f ( 0 ) = - 3 m - 8 \geq 0에서 m≤−83\displaystyle m \leq - \frac{8}{3} (ⅰ), (ⅱ)에 의해 m≤−83\displaystyle m \leq - \frac{8}{3}이다. 따라서 두 근 중 적어도 하나가 양의 실수가 되려면 m>−83\displaystyle m > - \frac{8}{3}이므로 정수 mm의 최솟값 k=−2k = - 2이다. ∴k2=4\therefore k ^{2} = 4

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#근의 분리

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