양철판 단면 넓이 최대

[출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 물이 흐르는 단면 중 한쪽 직사각형의 가로의 길이를 $x \mathrm{cm}$, 세로의 길이를 $y \mathrm{cm}$라고 하면

$2 x + 4 y + 4 = 100$에서 $2 x + 4 y = 96$ $x > 0$, $y > 0$이므로 (산술평균) ≧ (기하평균)에서 $\displaystyle \frac{2 x + 4 y}{2} \geq \sqrt{2 x \cdot 4 y} = 2 \sqrt{2} \sqrt{xy}$ ∴ $\displaystyle \sqrt{xy} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{96}{2}$ 이 때, $\displaystyle xy \leq \frac{24 ^{2}}{2}$이므로 $2 xy \leq 24 ^{2} = 576$ 따라서 구하는 두 직사각형의 넓이의 합 $2 xy$의 최대값은 $576$이다.