미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

약수의 역수 합 극한

문제

3⋅2n3 \cdot 2 ^{n}(nn은 자연수)의 모든 양의 약수 p1p _{1}, p2p _{2}, p3p _{3}, ⋯\cdots , p2n+2p _{2 n + 2}에 대하여 S(n)=∑k=12n+21pk\displaystyle S ( n ) = \sum\limits _{k = 1} ^{2 n + 2} \frac{1}{p _{k}}이라 할 때, lim⁡n→∞S(n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S ( n )}의 값은? [4점] ①23\displaystyle \frac{2}{3}②43\displaystyle \frac{4}{3}③22④83\displaystyle \frac{8}{3}⑤103\displaystyle \frac{10}{3}

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④

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해설

[출제의도] 부분합을 이용한 무한급수 문제해결하기 3⋅2n3 \cdot 2 ^{n}의 양의 약수는 11, 22, 222 ^{2}, ⋯\cdots,2n2 ^{n}, 33, 3⋅23 \cdot 2, 3⋅223 \cdot 2 ^{2}, ⋯\cdots, 3⋅2n3 \cdot 2 ^{n}이므로 S(n)=(1+12+122+⋯+12n)\displaystyle S ( n ) = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n}} \right)+(13+13⋅2+13⋅22+⋯+13⋅2n)\displaystyle + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 2 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{3 \cdot 2 ^{n}} \right) lim⁡n→∞S(n)=11−12+131−12=83\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S ( n ) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{3}

태그

#등비급수#약수

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