대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

약수의 로그 합 보기

문제

22 이상의 자연수 nn에 대하여 nn의 서로 다른 양의 약수가 mm개이고 그 약수를 d1d _{1}, d2d _{2}⋯\cdots, dmd _{m}이라 할 때, f(n)=log⁡nd1+log⁡nd2+⋯+log⁡ndmf ( n ) = \log _{n} d _{1} + \log _{n} d _{2} + \cdots + \log _{n} d _{m} 이라 하자. 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. f(24)=4f ( 24 ) = 4 ㄴ. nn이 소수이면 f(n)=1f ( n ) = 1이다. ㄷ. f(n)f ( n )은 자연수이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 로그함수를 이용하여 추론하기 ㄱ. f(24)=4f ( 24 ) = 4 (참) ㄴ. nn이 소수이면 f(n)=1f ( n ) = 1 (참) ㄷ. (반례) n=4n = 4일 때, f(4)=32\displaystyle f ( 4 ) = \frac{3}{2} (거짓)

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