약수의 로그 합

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 문제 해결하기 $1000 = 2 ^{3} \times 5 ^{3}$에서 양의 약수의 개수는 $p = 4 \times 4 = 16$이다. $1000$의 서로 다른 모든 양의 약수를 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $a _{1} = 1$, $a _{2} = 2$, $a _{3} = 2 ^{2}$, $\cdots$, $a _{16} = 2 ^{3} \cdot 5 ^{3}$이고, $a _{1} a _{16} = 1 \cdot \left( 2 ^{3} \cdot 5 ^{3} \right) = 10 ^{3}$, $a _{2} a _{15} = 2 \cdot \left( 2 ^{2} \cdot 5 ^{3} \right) = 10 ^{3}$, $\cdots$, $a _{8} a _{9} = \left( 5 ^{2} \right) \left( 2 ^{3} \cdot 5 ^{1} \right) = 10 ^{3}$이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{16} \log _{10} a _{k}$ $= \log _{10} a _{1} + \log _{10} a _{2} + \log _{10} a _{3} + \cdots + \log _{10} a _{16}$ $= \log _{10} a _{1} a _{16} + \log _{10} a _{2} a _{15} + \cdots + \log _{10} a _{8} a _{9}$ $= \log _{10} 10 ^{3} + \log _{10} 10 ^{3} + \cdots + \log _{10} 10 ^{3}$ $= 3 + 3 + \cdots + 3 = 24$ 이므로 $q = 24$이다. $p + q = 16 + 24 = 40$