약수의 집합의 포함 관계

먼저 두 자연수 $m$, $n$에 대하여 $A _{m} \subset A _{n}$ 이 무엇을 뜻하는지 살펴보자. $A _{m} \subset A _{n}$ 이면 $m \in A _{m}$ 이므로 $m \in A _{n}$ 이고, 이는 $m$이 $n$의 약수임을 뜻한다. 거꾸로 $m$이 $n$의 약수이면 $m$의 약수는 모두 $n$의 약수이므로 $A _{m} \subset A _{n}$ 이다. 즉 $A _{m} \subset A _{n}$ 과 「$m$은 $n$의 약수이다」는 서로 같은 조건이다. 따라서 주어진 조건은 $12$는 $n$의 약수이고, $n$은 $360$의 약수이다 와 같다. $n$이 $12$의 배수이므로 $n = 12 k$ ($k$는 자연수)로 놓으면 $12 k$가 $360$의 약수이어야 하므로 $k$는 $30$의 약수이다. $30 = 2 \times 3 \times 5$이므로 $30$의 약수의 개수는 $( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 8$ 따라서 구하는 자연수 $n$의 개수는 $8$이다. [확인] 실제로 $n$의 값은 $12$, $24$, $36$, $60$, $72$, $120$, $180$, $360$의 $8$개이고, 이들은 모두 $12$의 배수이면서 $360$의 약수이다.