약수의 곱의 로그

[출제의도] 상용로그의 값 구하기 $10 ^{9} = 2 ^{9} \times 5 ^{9}$이므로 $10 ^{9}$의 양의 약수는 $100$개다. 양의 약수를 크기순으로 $a _{1} , a _{2} , a _{3} , \cdots , a _{100}$이라 하면 $a _{i} a _{j} = 10 ^{9} ( i + j = 101 , i = 1 , 2 , 3 , \cdots , 100 )$이므로 모든 양수의 곱 $N = \left( 10 ^{9} \right) ^{50} = 10 ^{450}$이다. $\therefore \log _{10} N = \log _{10} 10 ^{450} = 450$