약수의 곱과 로그의 합

일반적으로 자연수 $N$의 양의 약수의 개수가 $n$개 이면 양의 약수의 곱은 $\displaystyle N ^{\frac{n}{2}}$이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{30} \log _{2} a _{k}$$= \log _{2} 720 ^{15} =$$\log _{2} ( 2 ^{4} 3 ^{2} 5 ^{1} ) ^{15}$ $= 60 + 30 \log _{2} 3 + 15 \log _{2} 5$$\displaystyle = 60 + 30 \left( \frac{\log _{10} 3}{\log _{10} 2} \right) + 15 \left( \frac{\log _{10} 5}{\log _{10} 2} \right)$ $= 60 + 48 + 35 = 143$