대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

약수의 곱과 로그

문제

자연수 n=23×34n = 2 ^{3} \times 3 ^{4}의 모든 양의 약수의 곱을 MM이라 할 때, log⁡nM\log _{n} M의 값을 구하시오. [4점]

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10

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해설

[출제의도] 자연수의 양의 약수의 성질을 이용하여 로그값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. n=23×34n = 2 ^{3} \times 3 ^{4}의 양의 약수의 개수는 (3+1)(4+1)=20( 3 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 20 이 2020개의 약수를 작은 수부터 차례로 a1a _{1}, a2a _{2}, a3a _{3}, … , a20a _{20} 라 하면 a1a20=na _{1} a _{20} = n, a2a19=na _{2} a _{19} = n, … , a10a11=na _{10} a _{11} = n ∴ M=a1a2⋯a20=n10M = a _{1} a _{2} \cdots a _{20} = n ^{10} ∴ log⁡nM=log⁡nn10=10\log _{n} M = \log _{n} n ^{10} = 10

태그

#로그#약수

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