대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

약수의 곱 최고자리

문제

24×332 ^{4} \times 3 ^{3}의 서로 다른 모든 양의 약수의 곱을 AA라 할 때, AA는 nn자리 정수이다. [A10n−1]\displaystyle \left[ \frac{A}{10 ^{n - 1}} \right]의 값은? (단, [x]\left[ x \right]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수, log⁡2=0.3010\log 2 = 0.3010, log⁡3=0.4771\log 3 = 0.4771) [4점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

[출제의도] 상용로그의 가수의 성질을 이용한 수학내적 문제해결하기 24×332 ^{4} \times 3 ^{3}은 2020개의 양의 약수를 갖는다. 약수들의 곱 A=(24×33)10=240×330\mathrm{A} = ( 2 ^{4} \times 3 ^{3} ) ^{10} = 2 ^{40} \times 3 ^{30} [A10n−1]\displaystyle \left[ \frac{\mathrm{A}}{10 ^{n - 1}} \right]는 A\mathrm{A}의 최고자리의 숫자이고 log⁡A=40log⁡2+30log⁡3=26.353\log \mathrm{A} = 40 \log 2 + 30 \log 3 = 26.353이다. log⁡2<0.353<log⁡3\log 2 < 0.353 < \log 3이므로 [A10n−1]=2\displaystyle \left[ \frac{\mathrm{A}}{10 ^{n - 1}} \right] = 2

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