대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

약수 나열 개수

문제

아래에서 제 $n$ 행은 $n$ 의 양의 약수를 나열한 것이다. 제 $1$ 행부터 제 $20$ 행까지 나열된 수의 개수를 구하시오. [4점]

제 $1$ 행 $1$ 제 $2$ 행 $1$ $2$ 제 $3$ 행 $1$ $3$ 제 $4$ 행 $1$ $2$ $4$ 제 $5$ 행 $1$ $5$ 제 $6$ 행 $1$ $2$ $3$ $6$ 제 $7$ 행 $1$ $7$ 제 $8$ 행 $1$ $2$ $4$ $8$ $\vdots$ $\vdots$

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해설

$x$ 보다 크지 않은 최대의 정수를 $\left[ {x} \right]$ 라고 하면 $n$ 열에 있는 수의 개수는 $\displaystyle \left[ \frac{20}{n} \right]$ 이므로 $\displaystyle \left[ \frac{20}{1} \right] + \left[ \frac{20}{2} \right] + \left[ \frac{20}{3} \right] + \cdots + \left[ \frac{20}{20} \right]$ $= 20 + 10 + 6 + 5 + \cdots + 1 = 66$

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