약수 조건 일대일대응

[출제의도] 조합을 활용하여 문제해결하기 $f \left( 2 \right) \leq 2$, $f \left( 3 \right) \leq 3$, $f \left( 5 \right) \leq 5$, $f \left( 7 \right) \leq 7$ $f \left( 1 \right) < f \left( 2 \right) < f \left( 4 \right) < f \left( 8 \right)$ 함수 $f$가 일대일 대응이므로 $f \left( 1 \right) = 1$, $f \left( 2 \right) = 2$, $f \left( 3 \right) = 3$ $f \left( 5 \right)$가 될 수 있는 값은 $4$, $5$ $f \left( 7 \right)$이 될 수 있는 값은 $4$, $5$, $6$, $7$ (ⅰ) $f \left( 5 \right) = 4$인 경우 $f \left( 7 \right) = 5$일 때, $f \left( 4 \right)$, $f \left( 6 \right)$, $f \left( 8 \right)$이 될 수 있는 값은 $6$, $7$, $8$ $f \left( 6 \right)$을 정하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{1}$ 남겨진 두 수 중에서 작은 수를 $f \left( 4 \right)$, 큰 수를 $f \left( 8 \right)$에 대응시키면 되므로 ${} _{3} \mathrm{C} _{1} \times 1 = 3$ $f \left( 7 \right) = 6$, $f \left( 7 \right) = 7$일 때, $f \left( 4 \right)$, $f \left( 6 \right)$, $f \left( 8 \right)$을 정하는 경우의 수도 각각 $3$이므로 함수 $f$의 개수는 $3 \times 3 = 9$ (ⅱ) $f \left( 5 \right) = 5$인 경우 (ⅰ)의 경우와 같은 방법으로 함수 $f$의 개수는 $3 \times 3 = 9$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 $f$의 개수는 $18$