약수 개수 홀수

[출제의도] 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수를 구한다. 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수는 완전제곱수이다. $< n > = 16$을 만족시키는 자연수 $n$의 범위는 $16 ^{2} \leq n < 17 ^{2}$ 이므로 자연수 $n$의 최댓값은 $17 ^{2} - 1 = 288$ [참고] 자연수 $N$을 소인수분해 한 것이 $N = a ^{p} b ^{q}$($a$와 $b$는 서로 다른 소수, $p$와 $q$는 자연수) 일 때, $N$의 양의 약수의 개수는 $( p + 1 ) ( q + 1 )$ 이다. 이때, 이 값이 홀수이려면 $p + 1$, $q + 1$ 이 모두 홀수이어야 하므로 두 수 $p$, $q$는 모두 짝수이다. 따라서 자연수 $N$은 완전제곱수이다.