미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

y=x⁴ 정사각형 분할

문제

좌표평면 위에 네 점 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ), A(1,0)\mathrm{A} ( 1 , 0 ), B(1,1)\mathrm{B} ( 1 , 1 ), C(0,1)\mathrm{C} ( 0 , 1 ) 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 OABC\mathrm{OABC}가 있다. 곡선 y=x4y = x ^{4}과 직선 y=ky = k (0<k<10 < k < 1)에 의해 정사각형 OABC\mathrm{OABC}를 네 영역 으로 나눌 때, 그림과 같이 네 영역의 넓이를 각각 S1S _{1}, S2S _{2}, S3S _{3}, S4S _{4}라 하자. 이때, ∣S1−S3∣+∣S2−S4∣| S _{1} - S _{3} | + | S _{2} - S _{4} |의 최솟값은? [4점]

①25\displaystyle \frac{2}{5}②12\displaystyle \frac{1}{2}③35\displaystyle \frac{3}{5}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤34\displaystyle \frac{3}{4}

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③

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해설

S2+S3=15⋯①\displaystyle S _{2} + S _{3} = \frac{1}{5} \cdots \text{①} , $S _{1} + S _{4} = \frac{4}{5} \cdots \text{ ②}$ $S _{1} + S _{2} = k \cdots \text{ ③}, , S _{3} + S _{4} = 1 - k \cdots \text{ ④}$ ②, ④에서 ∣S1−S3∣=∣k−15∣\displaystyle \left| S _{1} - S _{3} \right| = \left| k - \frac{1}{5} \right| ①, ④에서 ∣S2−S4∣=∣k−45∣\displaystyle \left| S _{2} - S _{4} \right| = \left| k - \frac{4}{5} \right| ∣S1−S3∣+∣S2−S4∣=∣k−15∣+∣k−45∣\displaystyle | S _{1} - S _{3} | + | S _{2} - S _{4} | = | k - \frac{1}{5} | + | k - \frac{4}{5} | 15<k<45\displaystyle \frac{1}{5} < k < \frac{4}{5}일 때, 최솟값 35\displaystyle \frac{3}{5}을 갖는다.

태그

#넓이#절댓값 최소

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