y=x 대칭인 두 점과 원점이 만드는 삼각형

점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $( b , a )$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( b - a ) ^{2} + ( a - b ) ^{2}} = \sqrt{2} ( b - a ) = 4 \sqrt{2}$이므로 $b - a = 4$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{a + b}{2} , \frac{a + b}{2} \right)$는 직선 $y = x$ 위에 있고 선분 $\mathrm{AB}$는 직선 $y = x$에 수직이므로, 선분 $\mathrm{OM}$은 삼각형 $\mathrm{OAB}$에서 밑변 $\mathrm{AB}$에 대한 높이이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = \sqrt{2} \times \frac{a + b}{2} = \frac{a + b}{\sqrt{2}}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times \frac{a + b}{\sqrt{2}} = 2 ( a + b ) = 16$ 이므로 $a + b = 8$ $b - a = 4$, $a + b = 8$에서 $a = 2$, $b = 6$ 따라서 $ab = 12$ (다른 풀이) 세 점 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{A} ( a , b )$, $\mathrm{B} ( b , a )$로 만든 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left| a \times a - b \times b \right| = \frac{1}{2} ( b - a ) ( b + a )$이고, $b - a = 4$이므로 $2 ( a + b ) = 16$